线性规划大家都很熟悉，就直接写如何使用matlab解线性规划问题了

MATLAB的线性规划

在MATLAB中，规定线性规划的标准形式为

$\matrix{ {\mathop {\min }\limits_x {c^T}x} \hfill \cr {s.t.\left\{ {\matrix{ {Ax \le b} \hfill \cr {Aeq \cdot x = beq} \hfill \cr {lb \le x \le ub} \hfill \cr } } \right.} \hfill \cr }$

其中$c$和$x$为$n$维列向量，$A$ 、$Aeq$ 为适当维数的矩阵， $b$ 、$beq$ 为适当维数的列向量。

例如线性规划

$\mathop {\min }\limits_x {c^T}x\quad s.t.\quad Ax\ge b$

的MATLAB标准形式为

$\mathop {\min }\limits_x {-c^T}x \quad s.t.\quad -Ax\ge -b$

matlab代码为

1	[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

这里x是结果，fval 返回目标函数的值，c是目标函数的参数，LB 和UB 分别是变量x 的下界和上界， x0是x的初始值，OPTIONS 是控制参数。

官方文档: https://ww2.mathworks.cn/help/optim/ug/linprog.html

例子

求解线性规划问题

$\begin{align} & max\;z = 2{x_1} + 3{x_2} - 5{x_3} \\ s.t.\quad & {x_1} + {x_2} + {x_3} = 7 \\ &2{x_1} + 3{x_2} + {x_3} \ge 10 \\ &{x_1} + 3{x_2} + {x_3} \le 12 \\ &{x_1},{x_2},{x_3} \ge 0 \\ \end{align}$

对应的MATLAB代码为

c=[2;3;-5];
a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))
value=c'*x

其中，c为目标函数的参数矩阵，a为约束条件矩阵，其中a必须是转化为MATLAB形式的线性规划问题的参数矩阵，即$Ax\le b$

aeq和beq为等式约束条件，形如$Aeq \cdot b = beq$

最后的zeros(3,1)为下界，在这里的意思是三个变量最小值为0

$\eqalign{ & \min \;z = 2{x_1} + 2{x_2} + {x_3} \cr & \left\{ \matrix{ {x_1} + 4{x_2} + 2{x_3} \ge 8 \hfill \cr 3{x_1} + 2{x_2} \ge 6 \hfill \cr {x_1},{x_2},{x_3} \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr}$

c=[2;3;1];
a=[1,4,2;3,2,0];
b=[8;6];
[x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))

一样的方法，如果缺少一个变量对应的参数就是0，这里没有等式约束所以aeq,beq为0

MATLAB 中的整数规划

许多问题要求解必须为整数，在最新的matlab中应该使用intlinprog来计算。对应文档为: https://ww2.mathworks.cn/help/optim/ug/intlinprog.html

intlinprog函数的签名如下

1	x = intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

可以看到，和linprog相比，该函数多出了intcon参数，该参数的作用是高速MATLAB哪些变量取值必须是整数

例子

$\eqalign{ & \min \;z = 8{x_1} + {x_2} \cr & \left\{ \matrix{ {x_2}\; is\; int \hfill \cr {x_1} + 2{x_2} \ge - 14 \hfill \cr - 4{x_1} - {x_2} \le - 33 \hfill \cr 2{x_1} + {x_2} \le 20 \hfill \cr} \right. \cr}$

对应的MATLAB代码

c = [8;1];
intcon = 2;
A = [-1,-2;
    -4,-1;
    2,1];
b = [14;-33;20];
x = intlinprog(c,intcon,A,b)

其中intcon = 2代表第二个x只能取整数,如果有多个变量就使用intcon=[]